Diese Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

So meine Damen und Herren, jetzt geht es also weiter mit unseren Spannungen. Sie erinnern

sich, wir hatten gestern dieses Konzept mal eingeführt.

Das Handling habe ich noch nicht so ganz raus hier. Das machen wir mal so.

Okay, also meine Damen und Herren, ich darf Sie noch mal daran erinnern an die Anordnung dieser neun

respektive eigentlich sechs nur verschiedenen Spannungskoeffizienten in der sogenannten

Spannungsmatrix. Das hatten wir gestern gemacht und das ist eine Anordnung von den drei Normalspannungen

auf den drei Deckelflächen unseres elementaren Würfels, den wir uns angeschaut haben. Die konnten

wir einfach abkürzen mit Sigma x, Sigma y, Sigma z. Das sind einfach die Normalspannungen auf den

drei Flächen und den Schubspannungen Tau xy, Tau xz. Und ich schreibe das jetzt hier bewusst nicht

voll aus, weil wir gestern festgestellt haben, dass die Terme, die hier unten stehen, aufgrund

des Momentengleichgewichts sozusagen sich durch Spiegelung dieser Terme von hier oben ergeben.

Das heißt, diese Matrix hier ist symmetrisch. Das hatten wir gestern rausbekommen. Insofern

haben wir auch nur diese sechs Größen, die hier oben eingezeichnet sind. So, meine Damen und Herren,

jetzt ist es natürlich so, dass wenn an Ihnen gezogen wird, dann ist Ihrem Körper das eigentlich

relativ egal, was ich für ein Koordinatensystem benutze. Wenn es zu viel ist, ist es zu viel und

sie gehen kaputt. Das heißt, wir müssen uns jetzt mal überlegen, Mensch, wie kriege ich denn raus,

wann was kaputt geht. Und zwar muss ich das irgendwie so rauskriegen, dass das jetzt nicht

davon abhängt, was ich nur zufällig für ein Koordinatensystem gewählt habe. Genau. Und deswegen

wollen wir mal gucken, ob wir nicht untersuchen können, was passiert, wenn ich diese Spannungen,

die ich jetzt hier in einem xy-Koordinatensystem gemessen habe offensichtlich, wenn ich die in

einem anderen Koordinatensystem messe, um dann im Endeffekt rauszukriegen, okay, in welchem

Koordinatensystem nehmen denn diese Werte vielleicht extremal Werte an, größte, kleinste. Und die sind

dann relevant für die Beurteilung der Frage, hält ein Material oder geht es kaputt. Grob gesagt. Das

ist also das Thema heute und wir könnten das folgendermaßen überschreiben. Das ist die

Transformation der Spannungskoeffizienzen. Das sind also diese Zahlen, die da in dieser Matrix stehen.

Und damit uns das Leben nicht so schwer wird, es regnet schon schlimm genug, lassen Sie uns

einen einfachen Fall angucken, einfach den Fall, wo wir im xy-Koordinatensystem, in dem xy-z-Koordinatensystem

nur eine Normalspannung haben. Okay. Lassen wir uns den Fall mal zuerst angucken. Das wäre also

der Fall des Ebenen, am Ebenenzug respektive Druckstabs. Das sieht also dann folgendermaßen aus,

wir haben hier so einen Stab. Natürlich hat er Abmessungen auch außerhalb der Tafelebene,

aber wir wollen mal annehmen, dass die sehr klein sind für einen Moment. Und dann wollen wir an

diesem Stab einfach ziehen mit einer Normalkraft. Und wenn wir die Normalkraft beziehen auf diese

Querschnittsfläche, bekommen wir ja hier eben einfach Normalspannung. Das will ich vielleicht

mal so andeuten. Sie erinnern sich, wir hatten die Spannung wie so eine verteilte Belastung im

Grunde eingeführt. Und wenn ich an diesem Stab eben ziehe, nach links und rechts, mit einer

bestimmten Normalkraft, n, denn entspricht das eben hier einer gleichmäßigen Verteilung von

Spannungen sigma x. Das ist genau der Eintrag hier oben. Ja, aus Gleichgewichtsgründen habe ich hier

die gleiche Normalkraft und das entspricht jetzt wieder eben sigma x hier. Sie erinnern sich,

wir hatten gestern über die Vorzeichendefinition gesprochen, das wären jetzt jeweils positive

positive Spannungen, Normalspannungen. Und die beziehen sich jetzt hier auf ein Koordinatensystem,

das will ich mal hier vielleicht einmalen, wo das hier die x-Richtung ist und das ist hier die y-Richtung.

So, wie gesagt, die Wahl dieses Koordinatensystems ist ja vollkommen willkürlich. Das heißt,

wir müssen jetzt einfach mal gucken, was passiert eigentlich, wie sehen eigentlich die Spannungen

aus, wenn ich hier ein anderes Koordinatensystem nehme, mein wegen ein gegenüber dem roten xy-Koordinatensystem

verdrehtes Koordinatensystem. Okay, lassen wir uns also mal hier das Koordinatensystem verdrehen

ein Stück weit in dieses blaue. Das soll jetzt also auch ein orthogonales rechtwingiges Koordinatensystem

sein und dieser Verdrehwinkel hier sei der Winkel alpha und dann lasst uns sagen, das x dreht sich

in eine Koordinat, die nennen wir denn griechisch x, xy und das y dreht sich dann in, ja, sag mal Itha.

Okay, gut und dann haben wir im Grunde die folgende Frage, die wir gern klären möchten. Die Spannungen